BAHASA MATEMATIKA

Bahasa Matematika


”Alam semesta itu bagaikan sebuah buku raksasa yang hanya dapat dibaca kalau orang mengerti bahasanya dan akrab dengan lambang dan huruf yang digunakan di dalamnya. Dan bahasa alam tersebut tidak lain adalah matematika”, demikian Galileo Galilei (1564-1642), seorang ahli matematika dan astronomi dari Italia, pernah mengungkapkan.
Bahasa merupakan suatu sistem yang terdiri dari lambang-lambang, kata-kata, dan kalimat-kalimat yang disusun menurut aturan tertentu dan digunakan sekelompok orang untuk berkomunikasi. Merujuk pada pengertian ini, maka matematika pun dapat dipandang sebagai bahasa karena dalam matematika terdapat sekumpulan lambang/simbol dan kata (baik kata dalam bentuk lambang, misalnya “≥“ yang melambangkan kata “lebih besar atau sama dengan”, maupun kata yang diadopsi dari bahasa biasa, misalnya kata “fungsi” yang dalam matematika menyatakan suatu hubungan dengan aturan tertentu antara unsur-unsur dalam dua buah himpunan).
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Simbol-simbol matematika bersifat "artifisial" yang baru memiliki arti setelah sebuah makna diberikan kepadanya. Tidak jarang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, banyak orang yang berkata bahwa x, y, z itu sama sekali tidak memiliki arti. Betul, x, y, z itu tidak akan ada artinya kalau kita tidak memberi arti. Tanpa itu, maka matematika hanya merupakan kumpulan simbol dan rumus yang kering akan makna.
Sebagai contoh, kalimat “Semua manusia akan mati”, dalam matematika dapat dinyatakan dengan: “semua x, bila x itu manusia, maka x itu akan mati” dan secara ringkas dapat ditulis: (x) (M(x)  T(x)) dengan M adalah manusia dan T adalah akan mati. Contoh lain, kalimat “Ada manusia yang pandai”, dapat diartikan: “ada benda, benda itu manusia dan benda itu pandai”. Lebih jauh lagi, kalimat tersebut dapat dinyatakan: “ada x, x itu manusia dan x itu pandai”, dan secara ringkas dapat ditulis: (x) (M(x)  P(x)) dengan M adalah manusia dan P adalah pandai.
Jika dibandingkan dengan bahasa-bahasa lainnya, sebenarnya bahasa matematika memiliki beberapa kelebihan. Bahasa matematika memiliki makna yang tunggal sehingga suatu kalimat matematika tidak dapat ditafsirkan bermacam-macam. Ketunggalan makna dalam bahasa matematika ini, menjadikan bahasa matematika sebagai bahasa “internasional”, karena komunitas pengguna bahasa matematika adalah bercorak global dan universal di semua negara yang tidak dibatasi oleh suku, agama, bangsa, negara, budaya, ataupun bahasa yang mereka gunakan sehari-hari.
Bahasa yang dipakai dalam pergaulan sehari-hari seringkali mengandung keraguan makna di dalamnya. Kerancuan makna itu dapat timbul karena tekanan dalam mengucapkannya ataupun karena kata yang digunakan dapat ditafsirkan dalam berbagai arti. Bahasa matematika berusaha dan berhasil menghindari kerancuan arti tersebut, karena setiap kalimat (istilah/variabel) dalam matematika sudah memiliki arti yang tertentu. Sebagai contoh “2 + 3” sama artinya bagi orang yang tinggal di Yogyakarta maupun orang yang tinggal di Jakarta, di Singapore atau di London. Tidak mungkin terjadi bahwa di Yogyakarta 2 + 3 = 5, sementara di Jakarta 2 + 3 = 6 atau sedangkan di London 2 + 3 = 23.
Ketunggalan arti itu dimungkinkan karena adanya kesepakatan bersama antara para matematikawan dan pengguna matematika di seluruh dunia atau ditentukan sendiri oleh pengunanya. Orang lain bebas menggunakan istilah/variabel matematika yang mengandung arti berlainan. Namun, ia harus menjelaskan terlebih dahulu di awal pembicaraannya atau tulisannya bagaimana tafsiran yang ia inginkan tentang istilah matematika tersebut. Selanjutnya, ia harus taat dan tunduk menafsirkannya seperti itu selama pembicaraan atau tulisan tersebut.
Bahasa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang dari matematika dibuat secara artifisial dan individual yang merupakan perjanjian yang berlaku khusus untuk suatu permalahan yang sedang dikaji. Suatu obyek yang sedang dikaji dapat disimbolkan dengan apa saja sesuai dengan kesepakatan bersama.
Kelebihan lain, matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Jika kita menggunakan bahasa verbal, maka hanya dapat mengatakan bahwa Si A lebih cantik dari Si B. Apabila kita ingin mengetahui seberapa eksaknya derajat kecantikannya maka dengan bahasa verbal tidak dapat berbuat apa-apa. Terkait dengan kasus ini maka kita mau tidak mau harus berpaling ke bahasa matematika, yakni dengan menggunakan bantuan logika fuzzy sehingga dapat diketahui berapa derajat kecantikan seseorang.
Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat kualitatif. Sedangkan matematika memiliki sifat kuantitatif, yakni dapat memberikan jawaban yang lebih bersifat eksak yang memungkinkan penyelesaian masalah secara lebih cepat dan cermat. Matematika memungkinkan suatu ilmu atau permasalahan dapat mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Perkembangan ini merupakan suatu hal yang imperatif bila kita menghendaki daya prediksi dan kontrol yang lebih tepat dan cermat dari suatu ilmu. Beberapa disiplin ilmu, terutama ilmu-ilmu sosial, agak mengalami kesulitan dalam perkembangan yang bersumber pada problem teknis dan pengukuran. Kesulitan ini secara bertahap telah mulai dapat diatasi, dan akhir-akhir ini kita melihat perkembangan yang menggembirakan, di mana ilmu-ilmu sosial telah mulai memasuki tahap yang bersifat kuantitif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin ilmu untuk meningkatkan daya prediksi dan kontrol dari ilmu tersebut.
Bagi dunia keilmuan, matematika memiliki peran sebagai bahasa simbolik yang memungkinkan terwujudnya komunikasi yang cermat dan tepat. Matematika dalam hubungannya dengan komunikasi ilmiah mempunyai peran ganda yakni sebagai ratu dan sekaligus sebagai pelayan ilmu pengetahuan. Di satu sisi, sebagai ratu matematika merupakan bentuk tertinggi dari logika, sedangkan di sisi lain, sebagai pelayan matematika memberikan bukan saja sistem pengorganisasian ilmu yang bersifat logis namun juga pernyataan-pernyataan dalam bentuk model matematika. Matematika bukan saja menyampaikan informasi secara jelas dan tepat namun juga singkat. Suatu rumus yang jika ditulis dengan bahasa verbal membutuhkan rangkaian kalimat yang panjang, di mana makin banyak kata-kata yang digunakan maka makin besar pula peluang terjadinya salah informasi dan salah interpretasi, maka dalam bahasa matematika cukup ditulis dengan model yang sederhana sekali.

Read More

TOM, JERRY DAN PR MATEMATIKA

Tom, Jerry, dan PR Matematika

Saya yakin kebanyakan dari Anda kenal dengan tokoh-tokoh yang namanya Tom dan Jerry. Ya, mereka adalah tokoh-tokoh film kartun lucu yang digambarkan sebagai seekor kucing dan seekor tikus yang saling bermusuhan. Ceritanya sih biasa itu-itu saja, sang kucing ngejar-ngejar sang tikus. Anehnya, walaupun berupa film kartun dan ceritanya itu-itu saja, tapi penggemarnya bukan saja dari kalangan anak-anak, kaum dewasa pun banyak yang menyukainya. Contohnya, saya sendiri menyukai film ini, walau cuma kadang-kadang nontonnya. Di artikel ini saya hanya meminjam nama-nama mereka untuk memerankan cerita yang saya buat.

Read More

MATEMATIKA DI DALAM BUS KOTA

Apa hubungan matematika dengan naik bus?



Tentu kita pernah naik bus kota dong....
Misalkan kita naik bus dalam kota Yogyakarta, jauh dekat jarak yang ditempuh ongkosnya sama, yaitu Rp. 2.000,- Ini berarti, kalau kita naik bus kota itu, entah jarak yang kita tempuh 1 km, 2 km, 3 km, atau 10 km ongkosnya sama saja, yaitu Rp. 2.000,- Nah, jarak dan tarif angkutan bus dalam kota merupakan contoh yang baik mengenai fungsi konstan dalam kehidupan sehari-hari.

Read More

MENGGALI MANFAAT NYATA MATEMATIKA SEHARI -HARI

Mesti diingat bahwa matematika itu merupakan bagian dari kebudayaan manusia. Hampir tidak ada kebudayaan, bagaimanapun primitifnya, yang tidak mengandung unsur-unsur matematika (minimal yang paling elementer). Dan sebagai salah satu unsur kebudayaan manusia, matematika juga turut membentuk kepribadian seseorang, meskipun dalam taraf yang berbeda untuk setiap orang. Dengan belajar matematika seseorang sedikit banyak akan terbentuk menjadi orang yang mampu berpikir logis, sistematis dan obyektif.

Read More

TOKOH (NEWTON)

 BIARKAN NEWTON ADA ! DAN SEMUANYA AKAN TERANG BENDERANG
 http://rumah-matematika.blogspot.com/2008/11/biarlah-newton-ada-dan-semuanya-akan.html
ISAAC NEWTON
[1642-1727]


Isaac Newton merupakan ilmuwan paling besar dan paling berpengaruh yang pernah hidup di dunia. Ia lahir di Woolsthrope, Inggris, tepat pada hari Natal tahun 1642. Pada waktu masih bocah dia sudah menunjukkan kecerdasan dan kecakapannya di bidang mekanika dan sangat trampil dan cekatan menggunakan tangannya. Meskipun anak dengan otak yang cemerlang, di sekolah tampaknya ia ogah-ogahan dan tidak banyak menarik perhatian para gurunya. Sehingga ketika menginjak remaja, ibunya berniat mengeluarkannya dari sekolah dengan harapan anaknya bisa jadi petani yang baik. Untungnya sang ibu bisa dibujuk, kalau bakat utamanya tidak terletak di bidang pertanian-menggarap sawah.

Read More

TOKOH MATEMATIKA

”Kartini Matematika” dari Rusia
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya
[1850-1891]

Kita semua pasti tahu kisahnya Raden Ajeng Kartini dalam memperjuangkan emansipasi wanita di negeri ini, sehingga wanita memiliki kedudukan yang setara dengan laki-laki seperti saat sekarang. Kisah Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dengan matematika hampir serupa dengan kisah Kartini. Karena boleh dikata, bidang matematika bahkan hingga saat sekarang cenderung didominasi kaum adam. Sangat jarang sekali ada wanita yang menjadi tokoh ternama di bidang matematika. Dan Sofia Kovalevskaya menjadi salah satu dari yang sangat sedikit itu. Sofia mampu membuktikan kaum hawa pun bisa memberikan kontribusi yang patut diperhitungkan dalam pengembangan ilmu matematika.
Sofia Kurkovsky Kovalevskaya dilahirkan pada tahun 1850 di Rusia dalam lingkungan keluarga bangsawan. Walaupun dia hidup dalam kemewahan dan ketenaran keluarganya, hal ini tidak serta merta membuatnya bahagia. Dia justru tertekan dengan berbagai peraturan ketat yang mengharuskannya menjadi seorang young lady.
Sejak kecil Sofia sudah mulai tertarik pada matematika, yaitu lewat membaca coretan-coretan kalkulus pada dinding kamar milik sang ayah. Minatnya yang besar pada matematika menarik perhatian pamannya dan membuat sang paman banyak mengajarinya berbagai konsep matematika. Di usia 14 tahun, Sofia mempelajari sendiri trigonometri untuk memahami fisika optik dari sebuah buku fisika karangan Tyrtov. Kecerdasannya dalam bidang matematika membuat profesor Tyrtov, penulis yang sekaligus tetangganya itu terkesan dan mendorong ayah Sofia agar menyekolahkan anak itu ke St. Petersburg.
Setelah menyelesaikan pendidikan dasarnya, Sofia berencana untuk melanjutkan pendidikan di bangku kuliah, namun universitas terdekat yang menerima wanita hanya ada di Swiss. Di sisi lain berlaku aturan, seorang wanita muda yang belum menikah dilarang bepergian jauh sendirian. Untuk memecahkan masalah tersebut, Sofia menikah dengan Vladimir Kovalevsky di bulan September 1868. Mereka kemudian menetap di Petersburg lalu pindah ke Heidelberg. Di kota tersebut, nama Sofia cukup tenar karena reputasi akademiknya yang mengagumkan.
Pada tahun 1870, Sofia bersikeras untuk belajar di bawah bimbingan Karl Weierstarss, matematikawan yang ternama dan pemikir metodis yang terkenal dengan teorinya tentang deret fungsi, di Universitas Berlin. Waktu itu, Weierstrass tidak begitu mempedulikan Sofia, sampai setelah ia berhasil mengerjakan beberapa soal darinya. Akhirnya matematikawan Jerman yang pernah gagal meraih gelar sarjana hukum itu, mengakui kejeniusan Sofia. Melihat potensi yang dimiliki Sofia, Weierstrass bersedia mengajari Sofia secara privat, karena pada waktu itu, Universitas Berlin tidak mengijinkan wanita untuk menjadi mahasiswa.
Empat tahun belajar di bawah bimbingan Weierstrass merupakan saat-saat terpenting dalam hidup Sofia dan memberikan pengaruh yang begitu besar terhadap pemahaman serta karirnya di bidang matematika. Pada tahun keempat, Sofia berhasil membuat tiga paper sebagai syarat memperoleh gelar. Salah satu papernya mengenai persamaan diferensial parsial dipublikasikan pada jurnal Crelle. Sebuah penghargaan yang luar biasa untuk seorang matematikawan tak dikenal.
Pada Juli 1874, Sofia berhasil memperoleh gelar Ph.D. dari Universitas Gottingen. Walaupun dia memiliki gelar dan penghargaan yang prestisius serta dukungan penuh dari Weierstrass, Sofia belum bisa mendapatkan pekerjaan yang layak. Setelah vacum cukup lama, Sofia kembali menekuni matematika dengan semangat baru di tahun 1880. Dia mengirimkan sebuah paper pada konferensi sains Abelian Integrals dan diterima dengan sangat baik. Pada tahun 1883, Gosta Mittag-Leffler, salah seorang mantan murid Weierstrass menawari Sofia untuk mengajar di Universitas Stockhlom. Berkat prestasi yang ditunjukkannya, Sofia diangkat sebagai editor jurnal matematika dan pada 1885 ditunjuk sebagai chair of mechanics.


Di tahun 1888, Sofia berhasil memenangkan kompetisi Prix Bordin yang diadakan Akademi Sains Perancis dengan papernya yang berjudul On the Rotation of a Solid Body about a Fixed Point. Pada paper tersebut Sofia mengembangkan sebuah teori mengenai objek tak simetris yang pusat massanya tidak terletak pada sumbu utama objek tersebut. Paper itu mendapat penghargaan yang luar biasa sehinga hadiahnya dinaikkan dari 3.000 franc menjadi 5.000 franc. Pada saat itulah seorang pria bernama Maxim Kovalevsky memasuki kehidupannya menggantikan suaminya yang telah meninggal lebih dari setahun sebelumnya. Maxim datang ke Stockhlom untuk mengajar dan secara tidak sengaja bertemu dengan Sofia. Akhirnya mereka berdua saling jatuh cinta.
Namun pekerjaan menjadi masalah bagi mereka berdua yang sama-sama tidak mau mengalah. Maxim meminta Sofia meninggalkan pekerjaan yang telah diraihnya dengan susah payah untuk ikut bersamanya ke Prancis. Sofia menolak ide tersebut karena dia sangat mencintai pekerjaannya, walaupun dia juga tak ingin kehilangan Maxim. Sebuah kisah cinta klasik antara dua orang ilmuwan. Pada akhirnya, Sofia tinggal di Prancis selama musim panas bersama Maxim yang membuatnya cukup depresi, karena tidak ada pekerjaan yang dia lakukan di sana.
Pada musim gugur 1889, Sofia kembali ke Stockhlom dengan perasaan sedih karena kehilangan Maxim. Depresi ini membuatnya sakit radang paru-paru (pneumonia) hingga ajal menjemputnya pada tanggal 10 Februari 1891. Selama hidupnya, Sofia berhasil mempublikasikan sepuluh paper dalam bidang matematika dan fisika matematika, serta beberapa karya literatur. Kebanyakan papernya merupakan teori-teori dasar yang berperan dalam pengembangan ilmu matematika di masa sesudahnya.
Sofia Krukovsky Kovalevskaya adalah wanita yang luar biasa dengan semangat belajar dan prestasi yang mengagumkan. Dia berhasil membuktikan, wanita mampu sejajar dengan pria dalam bidang sains.
 “Si Brilian yang rajin & produktif”
LEONHARD EULER
[1707-1783]


Leonhard Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Ketika umurnya baru mencapai tiga belas tahun, ia sudah diterima masuk di Universitas Basel. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi tak lama kemudian dia segera beralih ke bidang matematika. Dia memperoleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh belas tahun. Pada umur dua puluh tahun dia menerima undangan dari Catherine I dari Rusia untuk bergabung dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Tiga tahun kemudian dia sudah menjadi mahaguru fisika di sana. Umur dua puluh enam tahun dia menggantikan kursi ketua matematika yang tadinya diduduki oleh seorang matematikawan terkenal Daniel Bernoulli. Sayangnya, dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah. Namun hal itu tidak menyurutkannya untuk tetap meneruskan kerja dengan kapasitas penuh, dan menghasilkan artikel-artikel yang brilian.
Tahun 1741, Frederick Yang Agung dari Prusia membujuk Euler agar meninggalkan Rusia dan bergabung ke dalam Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Euler mengiyakan dan dia tinggal di Berlin selama dua puluh lima tahun dan baru kembali ke Rusia lagi pada tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua matanya tak bisa melihat lagi. Bahkan dalam keadaan seperti itu, ia tidak pernah menghentikan penyelidikannya. Euler memiliki kemampuan spektakuler dalam hal mental aritmatika, dan hingga dia tutup usia pada tahun 1783 di St. Petersburg pada umur tujuh puluh enam tahun, dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas tinggi di bidang matematika.
Hasil kerja Euler di bidang matematika dan ilmiah betul-betul luar biasa dan hampir tak masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Banyak orang bilang, kumpulan tulisan-tulisan ilmiahnya terdiri lebih dari 70 jilid! Kegeniusan Euler memperkaya hampir segala segi matematika murni maupun matematika terapan.
Buah pikiran Euler yang berhamburan tak ada hentinya itu sering menghasilkan titik tolak bagi penemuan matematika baru yang turut membuat seseorang menjadi terkenal. Sebut saja, Joseph Louis Lagrange, ahli fisika matematika Perancis, berhasil merumuskan serentetan rumus (rumus Lagrange) yang punya makna teoritis penting dan dapat digunakan memecahkan berbagai masalah mekanika. Rumus dasarnya ditemukan oleh Euler, karena itu sering disebut rumus Euler-Lagrange. Jean Baptiste Fourier, dia dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematikanya, yang dikenal dengan sebutan analisa Fourier. Di sini pun, rumus dasarnya pertama kali ditemukan oleh Leonhard Euler, dan dikenal dengan julukan formula Euler- Fourier.

Dalam urusan matematika, Euler secara khusus tertarik di bidang kalkulus, rumus diferensial, dan deret tak berhingga. Sumbangannya di bidang kalkulus dan teori tentang kompleksitas jumlah menjadi dasar dari semua perkembangan berikutnya di bidang ini.
Formula Euler, menunjukkan adanya hubungan antara fungsi trigonometri dan jumlah imaginer, yang dapat digunakan untuk menemukan logaritma jumlah negatif. Ini merupakan salah satu formula yang paling luas digunakan dalam semua bidang matematika. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analitis dan membuat sumbangan penting dalam bidang geometri diferensial dan geometri biasa.
Kendati Euler memiliki kemampuan yang luar biasa dalam penemuan-penemuan matematika terapan yang memungkinkannya melakukan praktek-praktek ilmiah, dia juga memiliki kelebihan hampir setara dalam bidang matematika murni. Eulerlah orang pertama yang memulai bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematika yang punya arti penting di abad ke-20.
Euler memberi sumbangan penting bagi sistem lambang matematika masa kini. Seperti penggunaan huruf Yunani untuk menerangkan rasio antara keliling lingkaran terhadap diameternya (). Dia juga memperkenalkan banyak sistem tanda yang kini umum dipakai di bidang matematika, seperti i simbol untuk bilangan imajiner, dengan , “e” untuk bilangan irasional yang istimewa, yaitu 2,718281….. dan masih banyak lagi yang lain.

“Saya Berpikir, Maka Saya Ada”
RENE DESCARTES
[1596-1650]


Mungkin kita sedikit asing dengan Rene Descartes, tapi pasti kita tahu dan bahkan akrab dengan Cartesius. Nama itu sebenarnya selalu kita jumpai bahkan sering terucap dari mulut kita, ketika kita belajar geometri.
Rene Descartes lahir pada tahun 1596. Dia merupakan seorang filosof, ilmuwan, matematikus Perancis yang tersohor. Pada umur 20 tahun, dia sudah memperoleh gelar ahli hukum dari Universitas Poitiers. Sayangnya, ia sama sekali tidak pernah mempraktekkan ilmu hukumnya itu.
Ia memiliki keyakinan tidak ada ilmu apa pun yang bisa dipercaya kecuali matematika. Sehingga, bukannya dia meneruskan pendidikan formalnya di bidang hukum, melainkan malah mengambil keputusan untuk berkelana keliling Eropa dan melihat dunia dengan mata kepalanya sendiri. Selama lebih kurang 12 tahun, dari tahun 1616 hingga 1628, Descartes betul-betul mondar-mandir dari satu negeri ke negeri lain. Dia tiga kali masuk dinas militer yang berbeda-beda (Belanda, Bavaria dan Honggaria), meskipun tampaknya dia tidak pernah ikut bertempur sama sekali. Dikunjunginya pula Italia, Polandia, Denmark dan negeri-negeri lainnya. Dalam tahun-tahun ini, dia menghimpun apa saja yang dianggapnya merupakan metode umum untuk menemukan kebenaran.
Sekitar tahun 1629 ditulisnya Rules for the Direction of the Mind buku yang memberikan garis-garis besar metodenya. Dari tahun 1630 sampai 1634, Descartes menggunakan metodenya dalam penelitian ilmiah. Pada tahun 1637 dia menerbitkan bukunya yang sangat terkenal Discourse on the Method for Properly Guiding the Reason and Finding Truth in the Sciences (biasanya disingkat saja dengan Discourse on Method). Discourse on Method ditulis dalam bahasa Perancis dan bukan bahasa Latin, sehingga semua kalangan intelektual dapat membacanya, termasuk mereka yang tidak memperoleh pendidikan klasik.

Sumbangan Descartes yang paling penting adalah penemuannya tentang geometri analitis. Ini merupakan langkah kemajuan besar di bidang matematika. Sumbangan ini membukakan jalan bagi Newton menemukan Kalkulus.
Mungkin, bagian paling menarik dari Descartes adalah caranya memulai sesuatu. Dari meneliti sejumlah besar pendapat-pendapat yang keliru yang umumnya sudah disepakati orang, Descartes berkesimpulan bahwa untuk mencari kebenaran sejati dia mesti mulai melakukan langkah yang polos, murni dan jernih. Untuk itu, dia mulai dengan cara meragukan apa saja. Meragukan apa saja yang dikatakan gurunya, meragukan kepercayaan, meragukan pendapat umum yang sudah berlaku, meragukan eksistensi alam di luar dunia, bahkan meragukan eksistensinya sendiri. Pokoknya, meragukan segala hal.
Karuan saja ini membuat dia menghadapi masalah yang menghadang: apakah mungkin mengatasi pemecahan atas keraguan yang begitu universal, dan apakah mungkin menemukan pengetahuan yang bisa dipercaya mengenai segala-galanya? Tetapi, lewat alasan-alasan metafisika yang cerdik, dia mampu memuaskan dirinya sendiri bahwa dia sebenarnya "ada" ("Saya berpikir, karena itu saya ada" merupakan argumen terkenal dari Descartes, meski bukanlah pendapatnya yang orisinil), dan Tuhan itu ada serta alam di luar dunia pun ada. Ini merupakan langkah pertama dari teori Descartes.
Tahun 1649 Descartes menerima tawaran bantuan keuangan yang lumayan dari Ratu Christina, agar datang ke Swedia dan menjadi guru pribadinya. Namun Descartes sangat kecewa ketika dia tahu sang Ratu ingin diajar pada jam lima pagi. Dia khawatir udara pagi yang dingin bisa membuatnya mati. Dan ternyata betul, Descartes kena pneumonia, dan meninggal bulan Februari 1650, cuma empat bulan sesudah sampai di Swedia.

Read More

KAITAN DASAR MATEMATIKA

Ada 3 hal dasar yang mesti dipahami berkaitan dengan matematika.
Math is Not a Spectator Sport
“Matematika bukan olahraga tontonan” kira-kira begitulah terjemahan bebas dari sub judul di atas. Maksudnya begini, kita tidak bisa cuma menjadi penonton dalam pelajaran matematika. Kita tidak dapat belajar matematika hanya dengan datang di kelas, memperhatikan guru dan belajar di rumah dengan mengerjakan PR yang diberikan oleh guru. Sebaliknya, untuk dapat mempelajari matematika dengan baik kita harus secara aktif terlibat dalam proses pembelajaran matematika. Selain memberikan seluruh perhatian di dalam pelajaran matematika, kita harus mengembangkan apa yang sudah dipelajari. Kita mesti membuat catatan dengan baik, mengerjakan soal-soal atau PR, bahkan jika guru tidak memberi tugas sekalipun. Kita harus belajar dengan rutin dan terjadwal secara teratur, bukan hanya malam sebelum tes. Dengan kata lain, kita membutuhkan keterlibatan kita dalam seluruh proses pembelajaran matematika, baik saat pelajaran di sekolah maupun saat belajar sendiri di rumah.

Read More

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA

                      Kumpulan Rumus Matematika Dasar

Kumpulan Rumus Matematika. Berikut ini saya mencoba merangkum beberapa rumus matematika untuk tingkat sekolah dasar. Memang masih jauh dari lengkap, tetapi saya mencoba untuk meringkasnya. Semoga ringkasan rumus ini dapat membantu anda dalam mempelajari matematika di sekolah dasar. Berikut ini beberapa rumus yang sering digunakan di sekolah dasar.

Konversi Satuan :

Panjang	Luas	Volume	Berat	Liter
kilometer	km²	km³	kg	kiloliter
hektometer	hm²	hm³	hg(ons)	hektoliter
dekameter	dam² (are)	dam³	dag	dekaliter
meter	m²	m³	gr	liter
desimeter	dm²	dm³(liter)	dg	desiliter
centimeter	cm²	cm³	cg	centiliter
milimeter	mm²	mm³(cc)	mg	mililiter
naik : 10 turun x10	naik :100 turun x 100	naik :1.000 turun x 1.000	naik : 10 turun x 10	naik : 10 turun x 10

Satuan Berat  dan Satuan Waktu:

Satuan	Senilai	Satuan	Senilai	Senilai
1 ton	1.000 kg	1 tahun	52 minggu	365 hari
1 ton	10 kwintal	1 bulan	4 minggu	30 hari
1 kwintal	100 kg	1 minggu	7 hari	168 jam
1 kg	10 ons	1 tahun	4 triwulan	2 semester
1 kg	2 pon	1 windu	8 tahun	96 bulan
1 pon	5 ons	1 abad	100 tahun	10 dasawarsa
1 pon	500 gram	1 milenium	1.000 tahun	10 abad
1 ons	100 gram	1 jam	60 menit	3.600 detik

Satuan Kuantitas :

• 1 lusin =  12 buah
• 1 gros =  12 lusin
• 1 gros =  144 buah
• 1 kodi =  20 lembar
• 1 rim =  500 lembar

Rumus Kecepatan :

• Kecepatan = Jarak : Waktu;
• Jarak = Kecepatan x waktu;
• Waktu = Jarak : Kecepatan

Rumus Debit :

• Debit = Volume : Waktu;
• Volume = Debit x Waktu;
• Waktu = Volume : Debit

Rumus Skala :

• Skala = Jarak Sebenarnya : Jarak Pada Peta;
• Jarak Sebenarnya = Skala x Jarak Pada Peta;(jadikan km);
• Jarak Pada Peta = Jarak Sebenarnya : Jarak Pada Peta,

Rumus Luas Bangun Datar :

• Persegi = s x s,  keliling 4 x s;
• Persegi panjang = p x l, keliling = 2( p +l);
• Segitiga = 1/2 x alas x t; 
• Jajargenjang = alas x tinggi ;
• Belahketupat = 1/2 x d1 x d2 ;
• Layang-layang = 1/2 x d1 x d2;
• Trapesium = 1/2 (a +b) x tinggi;
• Lingkaran = πr², keliling = 2πr

Rumus Volume Bangun Ruang :

• Kubus = s x s x s, luas permukaan = 6 x s²;
• Balok = p x l x t, luas permukaan = 2(pxl + pxt + lxt);
• Prisma segitiga = L alas x t, luas permukaan = ( 2 x luas alas) + (t x keliling alas);
• Limas segiempat = 1/3 x alas x tinggi, luas permukaan = s x s + 4(luas segitiga);
• Tabung = πr² x t, luas permukaan = 2πr(r+t);
• Kerucut = 1/3 x πr²t, luas permukaan = π r (r + s);
• Bola = 4/3 x πr³, luas permukaan = 4 x πr²

Rumus Konversi Satuan Suhu :

• Rumus merubah celcius ke kelvin = Celcius + 273,15
• Rumus merubah celcius ke rheamur = Celcius x 0,8
• Rumus merubah reamur ke celcius = Rheamur x 1,25
• Rumus merubah celcius ke fahrenheit = (Celcius x 1,8) + 32
• Rumus merubah fahrenheit ke celcius = (Fahrenheit - 32) / 1,8
• Rumus merubah rheamur ke farenheit = (Rheamur x 2,25) + 32

Operasi Hitung Campuran :

• Pengerjaan dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu. 
• Perkalian dan pembagian mempunyai kedudukan yang lebih kuat dibandingkan dengan penjumlahan dan pengurangan.
• Perkalian dan pembagian memiliki kedudukan yang sama, artinya pengerjaan perkalian dan pembagian dilakukan terlebih dahulu. Apabila dalam pengerjaan hitung terdapat perkalian dan pembagian, maka yang dikerjakan terlebih dahulu adalah pengerjaan sebelah kiri dahulu.
• Penjumlahan dan pengurangan memiliki kedudukan yang sama. Apabila dalam pengerjaan hitung terdapat penjumlahan dan pengurangan, maka yang dikerjakan terlebih dahulu adalah pengerjaan yang berada di sebelah kiri dahulu.

Operasi Hitung Bilangan Bulat :

Pada dasarnya perkalian bilangan bulat hampir sama dengan perkalian bilangan cacah. Namun pada perkalian bilangan bulat  terdapat aturan perkalian tanda dengan tententuan :

• (+) x (+) = (+)
• (+) x (-)  = (-)
• (-)  x (+  = (-)
• (-)  x (-) = (+)

Dalam operasi pembagian bilangan bulat juga berlaku aturan, sebagai berikut :

• (+) : (+) = (+)
• (+) : (-)  = (-)
• (-) : (+)  = (-)
• (-) : (-)   = (+)

Pengolahan Data :

• Rata-rata = Banyak Data : Jumlah Data;

Read More

ADA APA DENGAN MATEMATIKA ?

Misteri di Balik Angka dan Operasi Matematika

• 1 x 1 = 1
  11 x 11 = 121
  111 x 111 = 12321
  1111 x 1111 = 1234321
  11111 x 11111 = 123454321
  111111 x 111111 = 12345654321
  1111111 x 1111111 = 1234567654321
  11111111 x 11111111 = 123456787654321
  111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Perkalian dengan hasil yang unik ya..

• Lihat yang ini..

0 x 9 + 0 = 0
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110

• 1 x 8 + 1 = 9
  12 x 8 + 2 = 98
  123 x 8 + 3 = 987
  1234 x 8 + 4 = 9876
  12345 x 8 + 5 = 98765
  123456 x 8 + 6 = 987654
  1234567 x 8 + 7 = 9876543
  12345678 x 8 + 8 = 98765432
  123456789 x 8 + 9 = 987654321
• Cek yang ini juga ya …
  1 x 18 + 1 = 19
  12 x 18 + 2 = 218
  123 x 18 + 3 = 2217
  1234 x 18 + 4 = 22216
  12345 x 18 + 5 = 222215
  123456 x 18 + 6 = 2222214
  1234567 x 18 + 7 = 22222213
  12345678 x 18 + 8 = 222222212
  123456789 x 18 + 9 = 2222222211
  Menarik bukan?? Ternyata 2 angka terakhir pada hasil adalah berurutan mulai dari yang terbesar sampai yang terkecil (19,18, 17,…,11).
• Coba yang ini juga ya….
  Jika n (n = 1, 2, .., 7)
  dikalikan dengan 142.857 maka hasil yang diperoleh akan terlihat unik lo.. liat aja..

1 x 142857 = 142857 (angka sama)
2 x 142857 = 285714 (angka sama hanya beda urutan )
3 x 142857 = 428571 (angka sama hanya beda ururan)
4 x 142857 = 571428 (angka sama hanya beda urutan )
5 x 142857 = 714285 (angka sama hanya beda urutan)
6 x 142857 = 857142 (angka sama hanya beda urutan)
7 x 142857 = 999999 ( waw…. serba 9,,suatu hasil yang fantastis kan)

• Udah tau belum misteri angka 9?
  Jika suatu bilangan sebarang dikalikan dengan 9 maka jumlah hasilnya = 9 juga,, Percaya gak??
• Kita buktikan ya…..

1 x 9 = 9

2 x 9 = 18 , jumlah 1 + 8 = 9

3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9

4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9

dst. sampai tak hingga ….. T.O.P_B.G.T kan …

• Ada lagi lo hal menarik dibalik angka 9….

Ini hanya berlaku untuk angka kembar yang dikalikan dengan angka 9.

22 x 9 = …, untuk menghitung hasil perkalian ini cukup memakan waktu. Untuk mempermudah kita menghitung, ternyata ada cara cepatnya, caranya begini:

2 x 9 = 18, kemudian sisipkan angka 9 ditengah jadi 198…. ok kan…

• Untuk selanjutnya, buktikan sendiri dengan cara cepatnya berikut ini…
  33 x 9 = 297, cara cepat 3 x 9 = 27, selipkan 9 ditengah, jadi 297.
  44 x 9 = 396, cara cepat 4 x 9 = 36, selipkan 9 ditengah, jadi 396.
  55 x 9 = 495,          ….
  66 x 9 = 594,          ….

77 x 9 = 693,         ….
88 x 9 = 792,         ….

99 x 9 = 891,         ….

lalu bagaimana dengan 3 angka kembar ya ….???
ternyata sama aja tuh, tinggal sisipkan angka 99 ditengahnya ….
gak percaya ??

• kita buktikan lagi yah dan lanjutkan sendiri…
  222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9 = 18, selipkan 99 ditengah.
  333 x 9 = 2997,         ….
  444 x 9 = 3996,         ….
  .                           ….

.                      ….

999 x 9 = 8991,

Jika 4 angka kembar maka disisipkan 999, 5 angka kembar disisipkan 9999 begitu seterusnya

Menarik kan perhitungan matematika itu kawan ?

Read More

KEISTIMEWAAN ANGKA 9 ,ANGKA 10 DAN ANGKA 11

Kita tidak mesti jatuh sebenar-benar jatuh hanya untuk memahami bahwa jatuh itu sakit, tetapi kita dapat belajar dari pengalaman jatuh orang lain.

Matematika : Keistimewaan Angka 9, Angka 10, dan Angka 11

 

Keistimewaan Angka 9, Angka 10, dan Angka 11

Matematika... oh, matematika... 

Bagi sebagian siswa, tingkat SD, SMP, SMA, dan sederajat, matematika merupakan mata pelajaran yang menimbulkan momok bahkan kengerian. Padahal, jika kita menilik dengan bijak,  matematika sesungguhnya sangat menyenangkan. Untuk itu, mari kita melihat salah satu sisi menyenangkan matematika dengan menggali keistimewaan Angka 9, Angka 10, dan Angka 11.

Keistimewaan Angka 9

Untuk mengecek kelipatan 9, cukup dengan menjumlahkan angka-angka hasil perkalian tersebut hingga menjadi satuan terkecil, dimana hasil akhir yang diperoleh adalah 9.

Contoh   a  :

126    =>      1 + 2 + 6 = 9 

Jadi,  126 merupakan kelipatan 9  dimana  126 = 14 x 9

Contoh   b  :

648    =>     6 + 4 + 8 = 18     =>    1 + 8 = 9

Jadi,  648 merupakan kelipatan 9  dimana  648 = 72 x 9

Contoh   c  :

999    =>     9 + 9 + 9 = 27     =>   2 + 7 = 9

Jadi,  999 merupakan kelipatan 9  dimana  999 = 111 x 9

Keistimewaan Angka 10

Pada perkalian Angka 10, cukup dengan menambahkan angka 0 (nol) pada digit satuan.

Contoh   a  :

457 x 10 = ..... ?   

Letakkan satu digit angka 0 pada sisi kanan angka 457, sehingga menjadi  4570 

Lalu urutkan tiap tiga digit dari sisi kanan, sehingga hasilnya  4.570

Maka,   457 x 10 =  4.570

Contoh   b  :

872 x 100 = ..... ?  

Letakkan dua digit angka 0 pada sisi kanan angka 872, sehingga menjadi  87200 

Lalu urutkan tiap tiga digit dari sisi kanan, sehingga hasilnya  87.200

Maka,   872 x 100 =  87.200

Keistimewaan Angka 11

Pada perkalian 11, terdapat cara unik berhitung cepat tanpa menggunakan kalkulator ataupun alat berhitung lainnya.

Caranya :

Angka yang diperkalikan dengan angka 11 dituliskan dengan memberi ruang kosong antara angka yang satu dan angka lainnya. Kemudian jumlahkan kedua angka yang berdampingan, lalu hasilnya disisipkan di antara angka tersebut. Aturan ini hanya berlaku pada hasil penjumlahan yang terdiri dari satu digit.

Contoh   a  :

53 x 11 =  ..... ?

Tuliskan 53 secara terpisah     5   3 

Lalu jumlahkan      5 + 3 = 8

Angka  8 disisipkan di antara angka 5 dan 3, sehingga menjadi  583

Maka,   53 x 11 = 583

Contoh   b  :

427 x 11 = ..... ?

Tuliskan 427 secara terpisah     4   2   7  

Lalu jumlahkan      2 + 7 = 9

Angka  9 disisipkan di antara angka 2 dan 7

        4        2         7

                         9

Kemudian jumlahkan      4 + 2 = 6

Angka  6 disisipkan di antara angka 4 dan 2

        4        2         7

              6

Selanjutnya, gabungkan seluruh angka

        4        2         7

             6           9

Sehingga penyisipan angka tersebut menjadi:   46297

Lalu urutkan tiap tiga digit dari sisi kanan, sehingga hasilnya  46.297

Maka,   427 x 11 = 46.297 

Contoh   c  :

6.345 x 11 = ..... ?

Tuliskan 6345 secara terpisah     6   3    4   5  

Lalu jumlahkan      4 + 5 = 9

Angka  9 disisipkan di antara angka 4 dan 5

        6        3         4       5

                                  9

Kemudian jumlahkan      3 + 4 = 7

Angka  7 disisipkan di antara angka 3 dan 4

        6        3         4       5

                        7

Kemudian jumlahkan      6 + 3 = 9

Angka  9 disisipkan di antara angka 6 dan 3

        6        3         4       5

              9

Selanjutnya, gabungkan seluruh angka

        6        3         4       5

              9        7       9

Sehingga penyisipan angka tersebut menjadi:   6937495

Lalu urutkan tiap tiga digit dari sisi kanan, sehingga hasilnya  6.937.495

Maka,   6.345 x 11 =  6.937.495

Subhanallah... Ternyata matematika tidak serumit yang dibayangkan...

Selamat Berhitung ! ! !

Read More